25.3.17

La cicloide y el péndulo de Huygens

 http://emlo-portal.bodleian.ox.ac.uk/collections/wp-content/uploads/2014/11/ChrHuygens_Rijks.jpg

En 1658, el astrónomo, físico y matemático holandés Christiaan Huygens (1629-1695) trataba de mejorar el diseño de los relojes de péndulo, puesto que había notado que el periodo de oscilación de un péndulo circular que depende de la amplitud de su trayectoria, deja de medir correctamente el tiempo puesto que se altera también el periodo de su oscilación.

Inspirado por un reto de Pascal acerca de la cicloide, Huygens se ocupó de estudiar el periodo de un péndulo forzado a seguir una trayectoria cicloidal, descubriendo que éstos son isócronos, esto es, la frecuencia de tales péndulos cicloidales es independiente de la amplitud de su movimiento.

Huygens caería en la cuenta de que un péndulo basado en la curva cicloide, aunque la amplitud de la oscilación fuera puntualmente modificada, el periodo de oscilación del péndulo no se vería afectado y su valor únicamente dependería del radio de la circunferencia generatriz de la cicloide y de la aceleración de la gravedad.

Huygens había descubierto en base a consideraciones geométricas que la curva cicloide invertida es una curva tautócrona. Huygens fue pionero en demostrar que la curva cicloide satisface la propiedad tautócrona y en su obra “Horologium oscillatorium sive de motu pendulorum ad horologia aptato demostrationes geometricae” (París, 1673) da una demostración geométrica de este hecho.

(la evoluta de una curva es la curva envolvente de la familia de rectas normales a la curva original)

La construcción del péndulo isócrono, aprovecha una propiedad fundamental de la curva cicloide, que consiste en que su evoluta es otra cicloide.


http://www.mat.ucm.es/catedramdeguzman/old/08sabormat/experimentgeometria/48c.gif 
Huygens conocía que la suma de la longitud del segmento que une un punto cualquiera N de la cicloide y el punto de intersección M de la normal trazada desde N con la evoluta, y la longitud del arco que une el punto M y el vértice P de la evoluta, es constante e igual al doble del diámetro de la circunferencia que genera la cicloide. Esta propiedad es fundamental para la construcción de un péndulo isócrono forzado a moverse a lo largo un arco de cicloide. Para ello se fija un extremo de una cuerda dada como vértice de la evoluta de la cicloide que se desea describir. El mecanismo consistía en desplazar un punto variable de la cuerda a lo largo de la evoluta mientras el extremo libre de la cuerda oscila siguiendo una curva cicloide.



En el libro Horologium oscillatorium, que se publicó en 1673, Christiaan Huygens dice:

"El péndulo simple no puede ser considerado como una medida del tiempo segura y uniforme, porque las oscilaciones amplias tardan más tiempo que las de menor amplitud; con ayuda de la geometría he encontrado un método, hasta ahora desconocido, de suspender el péndulo; pues he investigado la curvatura de una determinada curva que se presta admirablemente para lograr la deseada uniformidad. Una vez que hube aplicado esta forma de suspensión a los relojes, su marcha se hizo tan pareja y segura, que después de numerosas experiencias sobre la tierra y sobre el agua, es indudable que estos relojes ofrecen la mayor seguridad a la astronomía y a la navegación. La línea mencionada es la misma que describe en el aire un clavo sujeto a una rueda cuando ésta avanza girando; los matemáticos la denominan cicloide, y ha sido cuidadosamente estudiada porque posee muchas otras propiedades; pero yo la he estudiado por su aplicación a la medida del tiempo ya mencionada, que descubrí mientras la estudiaba con interés puramente científico, sin sospechar el resultado."



Part I : Huygens' Pendulum Clock.

Part IIa : The motion of falling bodies.

Part IIb : The motion of a body falling along a cycloid.

Part III : The evolutes and lengths of curves.

Part IV A : Concerning the centre of oscillation.

Part IV B : Concerning the centre of oscillation.

Part V : The construction of another kind of clock, and the enunciation of some theorems on centrifugal force.


Desafortunadamente, aunque el péndulo ideado por Huygens era preciso en teoría, en la práctica resultó poco útil debido a que el rozamiento de la cuerda a lo largo de los arcos de la cicloide causaba un error superior al que se trataba de corregir en la medición del tiempo.
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Péndulo de Huygens (animación Geogebra, autor Carlos Fleitas). Propiedad tautócrona de la cicloide.


La cicloide invertida (boca arriba) dio respuesta al problema Tautócrono, consistente en encontrar la curva en la que dejando caer un objeto por la misma éste llegará a la parte más baja de la curva en un intervalo de tiempo que no depende del punto de partida.

\( t=\pi \sqrt{\frac{R}{g}} \)


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LA CICLOIDE 

0. Una breve introducción.
1. Ecuaciones paramétricas
2. La tangente y la normal en un punto.
3. Longitud de un arco.
4. El área que barre un arco.
5. Las curiosas propiedades de la cicloide.

La cicloide puede ser definida como la curva plana que es descrita físicamente por la trayectoria de un punto de una circunferencia que, sin deslizarse, rueda sobre una recta horizontal.


Imagen (si ves este texto, recarga la página)




Ecuaciones paramétricas:
http://4.bp.blogspot.com/-AXCeaX-SsSI/UMeloZJ9TBI/AAAAAAAAAYs/aZejoQwwYWA/s1600/curva.jpg

En 1696 Johann Bernoulli descubre que, además, la cicloide representa la curva en la que un objeto experimentará el descenso más rápido por efecto de la gravedad (problema de la Braquistócrona). 
La cicloide (Geogebra)

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Cicloide (by E. Zernyshkina)


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